n维欧式空间怎么表示？
很简单。只是因为我们处于三维空间，大于三维的度量不容易感知。
先从三维谈起，如向量{x1,x2,x3}在三维空间上必然可以分解为 {x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1} 这三个分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是线性无关的。而且是正交的。这样空间直角坐标系就有了基。这三个分量可以将任何三维向量线性表出。所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量。
当然，向量和点对应，三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点。
这样对于n维向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1} 其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合。
换句话说，它也是其在n维直角坐标系中的一个点。当然，这里的直角的含义是，n个基两两正交。
按照你的要求我再说明白一点，一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点。只不过是有n个向量的。
n 维欧式空间可以表示为一个具有 n 个独立坐标轴的坐标系，其中每个坐标轴上的单位长度相同。我们可以用一个 n 元组（x1，x2，…，xn）来表示 n 维欧式空间中的一个点。其中，xi（i=1，2，…，n）表示该点在对应坐标轴上的坐标。
例如，当 n=2 时，我们可以说一个点位于二维欧式空间，可以用一个二维坐标系中的坐标（x，y）表示。当 n=3 时，我们可以说一个点位于三维欧式空间，可以用一个三维坐标系中的坐标（x，y，z）表示。
在数学和物理学中，n 维欧式空间经常用于研究多维函数、线性代数、微积分以及量子力学等领域。对于更高维的空间，例如 n>3，我们通常使用向量来表示点的位置，并***用张量计算坐标之间的运算。
总之，n 维欧式空间可以表示为一个具有 n 个独立坐标轴的坐标系，其中每个坐标轴上的单位长度相同。一个点在该空间中的表示为一个 n 元组，分别表示该点在各个坐标轴上的坐标。
线性空间和欧氏空间的区别和联系？
线性空间：解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。实系数多项式的***在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。
欧氏空间：是一个特别的度量空间，使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流行的定义上发挥了作用。
联系：线性空间中的向量对应于欧几里得平面中的点，在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。
n维欧式空间中度量是否唯一？
不唯一，另外，是欧氏空间
n维欧氏空间是在线性空间里定义了内积，内积这种东西非常好。有了它，可以诱导出范数，所以n维欧氏空间还是赋范线性空间，加上它的完备性，就构成Banach空间；内积还可以诱导出度量，因此它也是完备的度量空间。
更重要的是，完备的内积空间叫Hilbert空间，这是一种最接近n维欧氏空间的无穷维空间，当然特殊一点n维欧氏空间本身就是内积空间，加上完备性就构成Hilbert空间。
Hilbert空间有好多好的性质，对于内积这种结构，有了它，就有了正交（在R²上可以理解为两个平面向量垂直，即内积为零）和投影的概念，就可以在内积空间中建立起相应的几何学。
另外，我们研究Hilbert空间上的连续线性泛函，有著名的里斯（F.Riesz）定理，研究Hilbert空间上的共轭算子、酉算子、自伴算子等等，它们都是n维欧氏空间上的矩阵的推广。
准确的说应该是n维欧氏空间上线性变换的推广，在n维欧氏空间上，线性算子实际上就是线性变换，再利用线性变换和n级方阵的同构关系，我们说矩阵也没什么毛病。
勾股定理是欧式空间的本质？
欧式空间曲面是所谓平直空间，即在这种空间里，勾股定理是成立的。
说的更准确点，曲率为0的空间叫做欧氏空间。
曲率是刻画空间（或者曲面）弯曲程度的一个指标。对于非欧空间，曲率可以大于零，也可以小于零，前者以黎曼空间为代表，后者以罗巴契夫空间为代表
